Phòng giáo dục - đào tạo tp nd
Trường THCSTrần Đăng Ninh

Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 7
Năm học 2009-2010
Thời gian làm bài : 150 phút



Bài 1:
Tìm x, y biết:

Bài 2:
Chứng minh rằng: với mọi x là số nguyên thì biểu thức:
P(x) = có giá trị nguyên.
Bài 3:
Cho đa thức f(x) = ax2+ bx+ c.
Chứng tỏ rằng: nếu f(x) có nghiệm x1 ;x2 ;x3 mà x1x2 x3 thì a = b = c = 0
Bài 4:
Cho tam giác ABC vuông tại A; AB < AC. Gọi I là trung điểm AC. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc BC, qua C kẻ đường thẳng vuông góc AC, chúng cắt nhau tại E.Chứng minh rằng: AE vuông góc với BI.
Bài 5:
Cho tam giác ABC, góc C bằng 450, góc A lớn hơn góc C và khác 900. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tia Bx sao cho CBx = CBA. Đường thẳng Bx cắt AC tại D. Kẻ AH vuông góc với BD, H thuộc BD. Tính góc CDH.









đáp án chấm hsg Toán 7

Bài 1: 4 điểm

Vì (1)
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

(2)
* Nếu 2x+3y-10
Từ (2) => 6x = 12 => x = 2
Mà => 3y - 2 = 7 => y = 3
* Nếu 2x + 3y - 1 = 0
Từ (1) => = 0 => 2x + 1 = 3y -2 = 0
=> x ; y =
Vậy: và thoả mãn đề bài.
* Nếu HS không xét 2 trường hợp của 2x+3y-1 thì chỉ được 1,5 điểm toàn bài







1,5 điểm



1 điểm




1 điểm



0,5 điểm


Bài 2: 3 điểm

+ Ta có: P(x) = =
= +
+
+ Chứng minh: Với x Z thì :
x(x-1)(x+1) 6
3x2(x+1) 6
=> Z
mà Z
=> + Z
=> P(xZ







1 điểm




1 điểm





1 điểm



Bài 3: 4 điểm

Vì x1 ;x2 ;x3 là các nghiệm của đa thức f(x) = ax2+ bx+ c nên ta có:
ax12+ bx1+ c = 0 (1)
ax22+ bx2+ c = 0 (2)
ax32+ bx3+ c = 0 (3)
+) Nếu a = 0 thì:
=> b(x1 - x2) = 0 mà x1 x2 => x1 - x20
=> b = 0 => c = 0
vậy a = b = c =0
+) Nếu a 0, chia 2 vế của (1) và (2) cho a, ta có:
ax12+ bx1+ c = 0 => x12 + x1 + c = 0
ax22+ bx2+ c = 0 => x22 + x2 + c = 0
=> x12 + x1 + c - (x22 + x2 + c ) = 0
=> (x12 - x22) + x1 - x2) = 0
=> (x1 + x2)(x1 - x2) + x1 - x2) = 0
=> (x1 - x2)(x1 + x2 ) = 0 mà x1 x2 => x1 - x20
=>x1 + x2 = 0 => x1 + x2 =
Chứng minh tương tự, ta cũng có: x2 + x3 =
=>x1 + x2 = x2 + x3 => x1 = x3 (Vô lý vì x1x3) -> loại.
Vậy: nếu f(x) có nghiệm x1 ;x2